Un peu de cours....

- Une compréhension de la démonstration dans le cadre où elle culmine: les mathématiques. La démonstration est mise en évidence, comme l'un des critères de vérité en mathématique.

Le texte de Blanché, extrait de l'Axiomatique est un regard sur les mathématiques, et particulièrement sur la géométrie à travers son histoire. Référence à Euclide ( mathématicien grec du 3ème siècle avant J.C auteur des Éléments ) qui rationalise la géométrie.

3 idées essentielles:

I/ Les critères qui consacrent la rigueur des mathématiques

Retenons :

- Démonstration et type de raisonnements

- La démonstration : la vérité d'une proposition est établie comme conséquence ( nécessaire) de propositions antérieures reconnues comme vraies qui en sont les prémisses. Issue des lois de la logique, du discours et de sa cohérence analysé par Aristote.

Exemple du syllogisme. Si tous les hommes ( B) sont mortels (A) ( Majeure ), Socrate (C) est un homme(B) (Mineure ), donc Socrate (C) est mortel (A). ( Conclusion ).

- Il existe en mathématique des propositions qu'on appelle des théorèmes. Théorème de Pythagore : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Les théorèmes doivent être démontrés, et ce par d'autres théorèmes. La démonstration en valide en effet la véracité.

- Intuition et évidence

Problème : on remonte ainsi à l'infini. Mais il existe aussi en mathématiques des propositions premières qui ne soulèvent aucun doute : On les appelle les axiomes ou des postulats. Ce qui les valide : l'évidence. Ils s'imposent à l'esprit et doivent être clairs et distincts. Exemple du postulat d'Euclide : par un point hors d'une droite, il ne peut passer qu'une parallèle à cette droite. Ou encore : Le tout est plus grand que la partie.

Nous retrouverons ici la troisième ligne, partie supérieure, de Platon : Le discursif : raisonnement, ici démonstration ( théorème ). L'intuitif : évidence ( axiome, postulat ).

Tout deux s'intègrent au savoir ( épistémè ).

II/ L'expérience est mise à l'écart

Rappel de Platon ; ce qui est empirique est tourné vers l'utile. Ainsi la mesure d'un champ par l'arpentage.

Avec Euclide, les mathématiciens deviennent théorétiques, spéculatives, désintéressées ( valent pour elles-mêmes ). Elles se libèrent ainsi de l'expérience, de l'empirique.

III/ Le rôle pédagogique des mathématiques

- Les mathématiques travaillent sur des abstractions. Le recours au tableau n'est ainsi que pédagogue.

Pourquoi fait-on des mathématiques ? Pour former l'esprit, le détacher du réel sensible et le former au raisonnement. On pourrait lire « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre » sur le fronton de l'Académie, école créée par Platon.

- Première démarche à se constituer comme science. Viendront ensuite la physique, puis la biologie, enfin les sciences humaines.

Approfondissement

Cf texte de Robert Blanché, L'Axiomatique

Dans ce texte, la démonstration est abordée à travers la géométrie qui est une branche des maths avec l'algèbre. La géométrie est la forme des figures. L'Algèbre est la forme des nombres. En parlant de l'expérience scientifique ou encore de la démonstration, nous faisons ce qu'on appelle de l’épistémologie ( étude/ discours du savoir/science ) --› réfléchie sur les sciences, leur but, leur objet, leur méthode, Claude Bernard lorsqu'il réfléchi sur l'expérience scientifique, fait de l’épistémologie.

Blanché dans l'Axiomatique lorsqu'il parle de la géométrie fait de l'épistémologie.

De même, lorsqu'on avait réfléchi sur l'art, nous avons fait de l'esthétique.

Après les math, il y a les sciences expérimentales ont un rapport non passif ou sensible ( voit cours sur l'expérience ).

Bien sur les Grecs faisaient de la physique mais ils étaient prisonniers du système du Ptolémée à savoir le géocentrisme.

Il faut attendre Newton I ( XVIII ), pour mettre en place l'héliocentrisme. Copernic ( XVI )

La chimie à été précédé par l'alchimie. Ensuite au XVIIIe siècle, vient la biologie. ( Lamarck )

XIXème siècle --› Darwin, Science du vivant

( Origine des espèces ) + Science de l'homme comme l'histoire, la sociologie, la linguistique, l'ethnologie.

Transition: Au XIXème siècle, les sciences de l'homme ont voulu prendre comme modèle les sciences de la nature. La physique recherche la cause des phénomènes. La sociologie voulait recherchait la cause des actions humaines. Mais peut-on réduire l'homme à cela ? Peut-on expliquer les conduites humaines comme on explique les phénomènes de la nature. En physique, on peut prévoir, anticiper. Peut-on faire la même chose pour l'homme ? ( imprévisible ). Il faut se méfier d'une approche réductrice de l'humain. Ne pas considérer ses actions comme des choses. Cela peut même être dangereux et conduire à la manipulation. D'autant plus que l'homme concrètement se manifeste par la singularité. Or comme le disait Aristote, il n'y a pas de science que de l'universel et pas de singulier.